Complex Number

Found mysterious one ! 🥳
•
1³ + 2³ + 3³ + ....... + n³ = { n(n+1)/2} ²

☞Derivation of Sin(A+B) by using vector Cross product :-
Here ,
Vector , OP⃗ = CosA i + SinA j
OQ⃗ = CosB i – SinB j
Now ,
Op⃗ × OQ⃗ = (CosA i + SinA j )×(CosB i – SinA j )
⇒|Op⃗ |.|OQ⃗ |.Sin(A+B).(-k) = CosA.CosB.(i×i)
– CosA.SinB.(i×j) + SinA.CosB (j×i)
–SinA.SinB(j×j)
⇒1.Sin(A+B).(-k) = 0 – CosA.SinB.(k)
+ SinA.CosB.(–k) + 0
⇒Sin(A+B).(-k)=CosA.SinB(-k)+SinA.CosB.(-k)
⇒Sin(A+B).(-k) = (–k). {CosA.SinB+SinA.CosB}
∴Sin(A+B) = SinA.CosB + CosA.SinB
(Proved)

আমরা জানি ,
অয়লার থিওরেম , eⁱᵅ = Cosα + i Sinα
একইভাবে ,
eⁱ⁽ᴬ⁺ᴮ⁾ = Cos ( A+B ) + i Sin(A+B)
⇒eⁱᴬ⁺ⁱᴮ= Cos ( A+B ) + i Sin(A+B)
⇒eⁱᴬ . eⁱᴮ = Cos ( A+B ) + i Sin(A+B)
⇒(CosA + i SinA ). ( CosB + i SinB) = Cos (A+B)
+ i Sin(A+B)
⇒Cos (A+B)+ i Sin(A+B) = (CosA + i SinA ).
(CosB + i SinB)
⇒Cos (A+B)+ i Sin(A+B) = CosA .CosB + i CosA SinB + i . SinA CosB + i ² . SinA . SinB
⇒Cos (A+B)+ i Sin(A+B) = ( CosA .CosB - SinA.SinB) + i ( SinA.CosB + CosA.SinB )

এখন , দুটো জটিল সংখ্যা যদি পরস্পর সমান হয় এদের বাস্তব অংশ বাস্তব অংশের সমান হয় এবং কাল্পনিক অংশ ; কাল্পনিক অংশের সমান ।
তাই ,
• Cos (A+B) = CosA .CosB - SinA.SinB
• Sin (A+B) = SinA.CosB + CosA.SinB
( প্রমাণিত ) 🙂

☞magical pi 🤍

☞ Beauty:-

51¹ + 73² + 80³ = 517380