Notre Dame Math Club

The first challenge of the 𝐍𝐃𝐌𝐂 𝐌𝐚𝐭𝐡 𝐂𝐮𝐩 𝟐𝟎𝟐𝟔: 𝐅𝐨𝐨𝐭𝐛𝐚𝐥𝐥 𝐄𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧 has reached its final whistle.

Yesterday's problem asked a fascinating question: what were the chances of Morocco repeating history and leaving Neymar heartbroken? After careful calculation and elegant reasoning, the answer is now revealed.

We congratulate all participants who stepped onto the field of probability and a special congratulations to the correct solvers featured in this post. Their solutions have earned them the first points on the journey toward the top of the leaderboard.

The road is still long, and many matches remain to be played. Until the next kickoff, keep your proofs sharp and your calculations sharper.

“গণিত হলো জটিলতার অরণ্যে সরলতার খোঁজ, যেখানে প্রতিটি সংখ্যার নিজস্ব একটা সুর থাকে।”

সংখ্যাতত্ত্বের জগতে সবচেয়ে রহস্যময় সত্তাটির নাম হলো মৌলিক সংখ্যা। এরা চলে আপন খেয়ালে, কোনো সুনির্দিষ্ট ছন্দে বা ছাঁচে এদের যেন কিছুতেই বাঁধা যায় না! আপাতদৃষ্টিতে এই নিয়ম ভাঙার রাজত্বে আদৌ কি সুনিশ্চিত কোনো প্যাটার্ন খুঁজে পাওয়া সম্ভব? এই ঘোরতর অনিশ্চয়তার মাঝে অটল নিশ্চয়তার এক অবিশ্বাস্য গল্পই হলো 'বার্ট্রান্ড পোস্টুলেট'।

আমাদের ক্লাবের অন্যতম প্রতিভাবান সদস্য অন্তরীক্ষ মহাজন (১২৬১৬০৩২) এর দুর্দান্ত উপস্থাপন “𝐁𝐞𝐫𝐭𝐫𝐚𝐧𝐝 𝐏𝐨𝐬𝐭𝐮𝐥𝐚𝐭𝐞: অনিশ্চিতে সুনিশ্চিতের খোঁজে”।

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n>1 এর জন্য n এবং 2n এর মাঝে অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা থাকবেই—১৮৪৫ সালে ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ বার্ট্রান্ডের করা এই সরল অনুমানটি কীভাবে পরবর্তীতে চেবিশেভের জটিল ক্যালকুলাস এবং ১৯ বছর বয়সী গণিতবিদ পল এরডশের প্যাসকেল ত্রিভুজের ব্যবচ্ছেদ দ্বারা প্রমাণিত হলো, অন্তরীক্ষ তা এই আর্টিকেলে নিখুঁতভাবে ফুটিয়ে তুলেছে। অলিম্পিয়াড ম্যাথের হারমনিক সিরিজ কিংবা ফ্যাক্টোরিয়ালের জটিল গোলকধাঁধাগুলো কীভাবে এই অনন্য প্রমাণের মূল হাতিয়ার হয়ে উঠল, তা জানতে এই আর্টিকেলটি হবে আপনার যুক্তির এক নতুন দিগন্ত।

আসুন, মৌলিক সংখ্যার এই রোমাঞ্চকর বিন্যাসের গোলকধাঁধায় হারিয়ে যাই আমরা এবং জটিলতার আড়ালে লুকিয়ে থাকা পরম সরলতাকে আবিষ্কার করি।

𝐓𝐡𝐞 𝐁𝐞𝐚𝐮𝐭𝐲 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐲: 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐏𝐫𝐨𝐨𝐟 𝐚𝐧𝐝 𝐌𝐮𝐜𝐡 𝐌𝐨𝐫𝐞
By 𝐌𝐝 𝐒𝐚𝐛𝐛𝐢𝐫 𝐀𝐥𝐚𝐦 𝐅𝐞𝐫𝐝𝐨𝐮𝐬 (𝟏𝟐𝟕𝟎𝟐𝟎𝟐𝟐)

Infinity has been intriguing both philosophers and mathematicians for centuries. But no one had ever made such an impact on how we perceive this phenomenon until Georg Cantor in the late 19th century. This work proves that infinity cannot be seen just as one concept, but it includes an intricate hierarchy of various sizes of infinities, which are astonishing in their nature. In particular, the diagonal argument serves as the main proof of all Cantor ideas about infiniteness.

𝟏. 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐨𝐮𝐬 𝐒𝐢𝐳𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞 𝐒𝐞𝐭𝐬
Cantor argued that the traditional vision of infinity as one vague notion could no longer be true. In particular, he claimed that infinite sets could have different sizes. First, he proved that the set of natural numbers was infinite yet countable since the elements of this set can be paired up with positive integers. However, there were uncountable infinities, such as the set of real numbers, which means that they should be seen as greater in comparison to countable ones. In this regard, Cantor came to introduce cardinal infinite numbers beginning from aleph-null (ℵ₀)

𝟐. 𝐓𝐡𝐞 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐀𝐫𝐠𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭: 𝐀 𝐍𝐞𝐰 𝐏𝐫𝐨𝐨𝐟 𝐓𝐞𝐜𝐡𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞
For instance, Cantor had already presented a diagonal argument in 1891 as a proof that the set of reals is not sequenceable like natural numbers.

Steps of the Argument:
- Assume that the set of real numbers between 0 and 1 is enumerated in infinite decimals. (Cantor, 1891)
- Create a new number by taking the nth decimal of the nth number and altering it, for example, from 5 to 6. (Suppes, 1990)
- The newly created number will differ from all numbers on our list in at least one digit position. (Cantor, 1891)
- Therefore, our listing is necessarily incomplete. (Kunen, 2011)

This absolutely magnificent, beautiful, and mind-blowing proof showed that uncountable sets exist, and their cardinality is strictly larger than that of ℵ₀. It is widely regarded as one of the most beautiful proofs ever written (Hallet, 1984).

𝟑. 𝐅𝐫𝐨𝐦 𝐑𝐞𝐚𝐥 𝐍𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫𝐬 𝐓𝐨 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐄𝐯𝐞𝐫𝐲𝐰𝐡𝐞𝐫𝐞
Very soon Cantor's diagonal technique spread throughout all of mathematics.
A diagonal proof was used by Alan Turing in his demonstration that some functions are uncomputable, specifically in the proof of undecidability of the Halting Problem (Turing, 1936).
In set theory, the technique of diagonalization may be employed to develop functions that are not included in any list presumed to contain all of them, crucial in demonstrating the existence of big and intricate sets (Kunen, 2011).
In logic, Gödel’s incompleteness theorem relies on a diagonalization approach (self-reference) to demonstrate that there are true statements within formal systems that cannot be formally proven.

𝟒. 𝐁𝐞𝐲𝐨𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐒𝐜𝐨𝐩𝐞 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐲
In addition to the above, Cantor introduced the Continuum Hypothesis: There exists no infinity between the cardinality of integers and that of real numbers.
Higher-level research into set theory later confirmed that CH is neither provable nor disprovable based on the Zermelo-Fraenkel axioms of mathematics (ZFC):
- Gödel (1940): CH cannot be refuted.
- Cohen (1963): CH cannot be proven.
Therefore, the nature of the continuum is one of the greatest enigmas in mathematics (Jech, 2003).

𝟓. 𝐓𝐡𝐞 𝐌𝐚𝐠𝐧𝐢𝐟𝐢𝐜𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐨𝐟 𝐂𝐚𝐧𝐭𝐨𝐫’𝐬 𝐖𝐨𝐫𝐤
Cantor received harsh criticisms during his lifetime. Some mathematicians, for instance Kronecker, regarded the concept of actual infinity as merely “nonsense” (Dauben, 1979). But Cantor proceeded to develop his theory of sets under the conviction that the infinite was the “most beautiful and most powerful conception of the human mind” (Cantor, Letter to Dedekind, 1885).
His work is now considered indispensable in:
- Modern set theory
- Computer science
- Logic
- Philosophy of mathematics
Infinity was not the end of our ignorance, but rather the beginning of boundless magnificence.

“প্রমাণের শক্তি তখনই সত্যিকারের প্রকাশ পায়, যখন একটি সত্য কেবল এক ধাপ নয়— বরং তার আগের প্রতিটি ধাপের ভিত্তিতেও দৃঢ়ভাবে দাঁড়িয়ে থাকে।”

তাসদীক আহমেদ তন্ময় (১২৬০৮০০৩) এর উপস্থাপনায় প্রকাশিত হয়েছে "𝐒𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐈𝐧𝐝𝐮𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 Academic Article" গাণিতিক আরোহ পদ্ধতির একটি আরও শক্তিশালী ও বিস্তৃত রূপের গভীর বিশ্লেষণ।

এই আর্টিকেলে সাধারণ ইনডাকশন থেকে স্ট্রং ইনডাকশনের মৌলিক পার্থক্য স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যেখানে একক ধাপের পরিবর্তে পূর্ববর্তী সকল ধাপকে ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করা হয়। এই শক্তিশালী কাঠামো ব্যবহার করে প্রমাণের যুক্তিকে আরও সুদৃঢ় ও সর্বজনীন করা সম্ভব হয়।

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ, ফিবোনাচ্চি-ভিত্তিক টাইলিং সমস্যা থেকে শুরু করে গ্রাফ থিওরি ও গেম থিওরির জটিল সমস্যাগুলিতেও স্ট্রং ইনডাকশন তার কার্যকারিতা প্রমাণ করে।

“যেখানে সাধারণ যুক্তি থেমে যায়, সেখানেই শুরু হয় শক্তিশালী আরোহের প্রকৃত যাত্রা।”